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산술의 기본 정리 (Fundamental Theorem of Arithmetic) 1 목차로 돌아가기 지난 포스트에서도 이야기 했듯이 모든 자연수는 소수의 곱으로 나타낼 수 있고 순서를 무시하면 유일합니다. 이를 정확히 쓰면 다음과 같습니다. 정리 1 (산술의 기본 정리) 자연수 \( n >1 \) 이 있다고 가정하자. 수 \( n \) 은 다음과 같이 쓸 수 있다. \[ n = p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r} = \prod_{i=1}^r p_i^{e_i} \] 여기서 모든 \( 1 \leq i \leq n \) 에 대해서 \( e_i \geq 1 \) 인 자연수이다. 만약, \[ p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r} = q_1^{f_1} \cdots q_s^{f_s} \] 이면 \( r = s \) 이며 첨수 (index)를 적당히 바꾸면 모든 \( 1 \le.. 2021. 3. 16.
소수 (Prime Number) 목차로 돌아가기 어떤 과목을 공부하게 되면 자연스럽게 가장 기본 요소를 먼저 이해하려고 시도를 합니다. 기본적인게 쉬우니까요. 그렇다면 정수론에서의 기본 구성 요소는 과연 무엇일까요? 더하기를 기준으로 한다면 \( \pm 1 \) 이 수의 세포의 역할을 합니다 . 왜냐하면 모든 수 \( n \)은 \[ n = 1 + \cdots + 1 \text{ 혹은 } n = (-1) + \cdots + (-1) \] 대수적인 측면에서는 \( -1 \) 또한 \( 1 \) 로 "생성"된다고 생각하기에 더하기의 가장 기본 요소는 \( 1 \)이라고 할 수 있습니다. 하지만 \( 1 \) 만 가지고는 흥미로운 이론을 끌어낼 수가 없기에 수학자들은 곱하기에 눈을 돌리게 됩니다. 가분성(Divisibility)에서 우리는 .. 2021. 3. 7.
가분성 (Divisibility) 목차로 돌아가기 정의 1 정수의 집합을 다음과 같이 표기합시다. \[ \mathbb{Z} = \{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \} \] 정수(integer) 의 집합의 원소들을 정수라고 부릅니다. 음수가 아닌 정수를 자연수라 부르고 자연수 (Natural Number) 의 집합을 다음과 같이 표기합니다. \[ \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, \ldots \} \] 사실 위에서 우리는 자연수와 정수를 제대로 정의를 하지 않았습니다. 정수의 정의를 엄밀하게 접근하는 방법이 존재하지만 증명 중점의 수학을 처음 접하시는 분들에게는 추천하지 않기 때문입니다. 같은 이유로, 곧 나열할 성질들도 성립한다는 것을 그냥 받아들이는 것을 추천합니다. 우리가 평소에 많이 사용했던 .. 2021. 3. 5.
기초 정수론 (Elementary Number Theory) 정수론은 수를 연구하는 학문입니다. 목차 (추가될 예정) 는 다음과 같습니다. 파트 1: 소인수분해 (Prime Factorization) 가분성 (Divisibility) 소수 (Prime Numbers) 산술의 기본 정리 (Fundamental Theorem of Arithmetic) 1 최대 공약수 (Greatest Common Divisor) 산술의 기본 정리 (Fundamental Theorem of Arithmetic) 2 유클리드 호제법 (Euclid's Algorithm) 파트 2: 연분수 (Continued Fractions) 연분수의 정의 (Definition of Continued Fraction) 유리수와 연분수 (Rational Numbers and Continued Fractio.. 2021. 3. 5.