가분성 (Divisibility)

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정의 1 정수의 집합을 다음과 같이 표기합시다.

\[ \mathbb{Z} = \{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \} \]

정수(integer) 의 집합의 원소들을 정수라고 부릅니다.  음수가 아닌 정수를 자연수라 부르고 자연수 (Natural Number) 의 집합을 다음과 같이 표기합니다.

\[ \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, \ldots \} \]

사실 위에서 우리는 자연수와 정수를  제대로 정의를 하지 않았습니다. 정수의 정의를 엄밀하게 접근하는 방법이 존재하지만 증명 중점의 수학을 처음 접하시는 분들에게는 추천하지 않기 때문입니다. 같은 이유로, 곧 나열할 성질들도 성립한다는 것을 그냥 받아들이는 것을 추천합니다. 우리가 평소에 많이 사용했던 성질을 정리한 것입니다. 안 읽고 넘어가셔도 무방합니다.

 

성질 2 모든 정수 \( a, b, c \in \mathbb{Z} \)에 대하여 다음이 성립한다.

1. \( (a+b)+c = a + (b+c) \) 와 \( (ab)c = a(bc) \),
2. \( a+0 = a \) 와 \( a \cdot 1 = a \),
3. 모든 정수 \( a \) 에 대해서 \( a + b = 0 \)을 만족하는 정수 \( b \)가 존재한다. 
4. \( a + b = b + a \) 와 \( ab = ba \),
5. \( a(b+c) = ab + bc \) 와 \( (b+c)a = ba + ca \) 가 성립한다.
6. 자연수 \( a, b \) 에 대해 \( ab \neq 0 \) 면 \( ab \geq a \)가 성립한다.
7. 자연수 \( a, b \)이 0보다 큰 정수이면 \( ab > 0 \) 니다. 
8. \( | a | \) 가 \( a \) 의 절대값을 의미할 때, \( |ab| = |a||b| \) 를 성립한다. 절대값의 정의는 다음과 같다.
   \[ |a| = \begin{cases} a & a \geq 0 \text{ 일 때 } \\ -a & a < 0 \text{ 일 때 } \end{cases} \]
   또한 \( |a| = 0 \) 와 \( a= 0 \)는 동치입니다. (\( a= 0 \) 이면 \( |a| = 0 \) 이고 \( |a| = 0 \) 이면 \( a = 0 \)일 경우 두 문장이 동치라고 말합니다.)
   

정의 3 정수 \( a,b \) 가 있다고 가정하자. \(ac = b \) 를 만족하는 정수 \( c \) 가 있을 경우, 우리는 \( a \) 가 \( b \) 를 나눈다 (divides) 고 한다. 여기서 \( a \)를 \( b \) 약수 (divisor) 라 부르고 \( b \)를 \( a \)의 배수 (multiple) 라고 부릅니다.

 

예 \( 3 \cdot 7 = 21 \) 이기 때문에 \( 3 \) 은 \( 21 \) 을 나눕니다. 비슷하게 \( 7 \) 도 \( 21 \) 을 나눕니다.

 

지금부터는 가분성 (나눌 수 있는지 여부)의 성질을 증명해봅시다. 증명에 익숙하신 분들은 연습삼아 직접 증명을 해보시기 바랍니다.

 

성질 4 모든 정수 \( a, b, c \) 에 대하여 다음이 성립한다.

1. \( a | b \) 고 \( b |c \) 면, \( a| c \)다. 
2. \( a |b \) 고 \( a | c \) 면, 모든 정수 \( x, y \in \mathbb{Z} \) 에 대해 \( a| bx + cy \)가 성립한다.
3. \( a | b\) 면 \( a|bc \) 다.
4. \( a |b \) 고 \( b \neq 0 \) 면, \( |b|  \geq |a| \geq a \) 가 성립한다.
5. \( ab = 0 \) 이면 \( a = 0 \) 이거나 \( b = 0 \) 이다.
6. \( ab = ac \) 면  \( b=c \) 거나 \( a = 0 \) 이다.
7. \( a|b \) 이고 \( b | a \) 이면 \( a = \pm b \)

증명을 보시려면 더 보기를 눌러주세요.

증명

1. \( a | b \) 면 \( ad_1 = b \) 를 만족하는 정수 \( d_1 \) 이 존재합니다. 마찬가지로 \( b | c \) 면 \( bd_2 = c \) 를 만족하는 정수 \( d_2 \) 가 존재합니다. 이를 정리하면
   \[ c = bd_2 = (a d_1) d_2 = a (d_1 d_2) \]
   를 만족하기에 나눈다는 정의에 의해서 \( a| c \) 가 성립합니다.
2. \( a | b \) 와 \( a | c \) 면 \( ad_1 = b \) 와 \( ad_2 = c \) 를 만족하는 정수 \( d_1 \) 과 \( d_2 \) 가 존재합니다. 그렇다면
   \[ bx + cy = (ad_1)x+ (ad_2)y = a (d_1x + d_2y) \]
   를 만족하기에 \( a | bx+cy \)를 성립합니다.
3. \( a | b \) 면 \( ad = b \)를 만족하는 정수 \( d \)가 존재합니다. \( bc = (ad)c = a(dc) \)이기에 \( a |bc \)가 성립합니다.
4. \( a | b \) 면 \( ad = b \)를 만족하는 정수 \( d \)가 존재합니다.
   \[ |b| = |ad| = |a||d| \]
   가 만족하며 \( |b| = |a||d| \neq 0 \) 이기에 성질 2.6에 의해서 \( |b| \geq |a| \) 이 성립합니다. 또한 \(|a| \geq a \) 는 언제나 성립합니다. 두 결과를 합치면
   \[ |b| \geq |a| \geq a \]
   가 도출됩니다.
5. \( a \neq 0 \) 와 \( b \neq 0 \)라고 가정하고 모순을 도출해내고 싶습니다. \( |a| \)와 \( |b| \)는 둘 다 양의 정수이며 \( 0 \)이 아닙니다. 성질 2.6에 의해서 \( |ab| = |a||b| \neq 0 \)이 성립합니다. 성질 2.7에 의해서 \( ab \neq 0 \) 입니다. 이 사실은 가정 \( ab = 0 \) 에 의해서 모순이 됩니다. 정리하면 \( a  = 0 \) 혹은 \( b = 0 \)이 됩니다.
6. 식을 정리합시다.
   \[ ab = ac \Rightarrow ab - ac = 0 \Rightarrow a(b-c) = 0 \]
   성질 4.5에 의해서 \( a = 0 \) 이거나 \( b-c = 0 \)이 됩니다. 즉 \( a = 0 \) 이거나 \( b = c \)가 됩니다.
7. \( 0 \) 은  \( 0 \) 밖에 나눌 수 없으므로, \( a = b = 0 \) 이거나 \( a \neq 0, b \neq 0 \) 가 성립해야됩니다. 첫번째 경우에는 \( a = \pm b \) 가 성립하므로 우리는 \( a \) 와 \( b \) 둘 다 \( 0 \) 이 아니라고 가정할 수 있습니다. 성질 4.4를 두 번 사용하게 되면 \( |a| \leq |b| \) 와 \( |b| \leq |a| \) 가 성립하는 것을 알 수 있습니다. 즉 \( |a| = |b| \) 가 성립합니다. 이를 다시 쓰면 \( a = \pm b \) 가 성립합니다.