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[Exposition] 대수정수론: 가우스 수 대수적 수론 (Algebraic Number Theory)을 처음 소개 할 때 대표적인 문제는 다음과 같다. 1. 두 제곱수의 곱으로 나타낼 수 있는 홀수인 소수는 어떤 것들일까? \[ p = x^2 + y^2 \] 2. 원시 피타고라스 수는 무한할까? 원시 피타고라스 수는 $z^2 = x^2+ y^2$를 만족하면서 $x,y,z$가 쌍으로 서로소(pairwise coprime)인 세 쌍 $(x,y,z)$를 의미한다. 이를 풀기에는 어디서 온 지 모르는 트릭(trick)을 이용해야 했었다. 하지만 대수적 수론의 등장 이후 우변을 "인수분해"할 수 있게 된 후에는 대수적으로 직관적인 증명들이 등장하기 시작했다. 우변을 인수분해 하기 위해서는 가우스 수라는 새로운 수체계를 도입해야 한다. 1. 정수적 수 및 .. 2021. 12. 22.
FLT(3): 첫번째, 증명 다음을 증명하고자 한다. FLT(3): $xyz \neq 0$ 이면서 \[ x^3 + y^3 = z^3 \] 을 만족하는 정수 $x,y,z$는 존재하지 않는다. 자연수 해가 존재하지 않으면 정수해도 존재하지 않는다는 것을 증명하자. FLT'(3): $xyz \neq 0$이면서 \[ x^3 + y^3 = z^3 \] 을 만족하는 자연수 $x,y,z$는 존재하지 않는다. FLT(3)이 거짓이라고 가정해보자. 즉 $x^3+y^3 = z^3$와 $xyz \neq 0$를 만족하는 정수 $x,y,z$가 존재한다고 가정해보자. $x,y,z$의 부호는 다음과 같이 나뉠 수 있다. \[ \begin{array}{l|l|l|l} & x & y & z \\ \hline \text{(i)} & + & + & + \\ \hli.. 2021. 7. 25.
FLT(4): 첫번째, 원시 피타고라스 수 소정리 1: 쌍마다 서로소(pairwise coprime)인 $a,b,c$가 $a^2 + b^2 = c^2$을 만족한다고 가정해보자. 그러면 $a,b$의 홀짝은 다르다. 즉 $c$는 홀수이다. 증명) 만약 $a,b$가 둘다 짝수라면 $2$는 $a,b$ 공약수가 되므로 $a,b$가 서로소라는 가정에 모순이 생긴다. 다음으로 넘어가지 전에 다음을 살펴보자. 우리는 제곱수를 4로 나누었을 때 나머지가 $0$ 아니면 $1$일 수 밖에 없음을 보여주고 싶다. 제곱수 $c^2$이 있다고 가정해보자. $c$는 어떤 정수 $c'$에 대해서 $c = 2c'$ ($c$가 짝수일 때) 혹은 $c = 2c' + 1$ ($c$가 홀수 일 때)이 성립해야 된다. 이를 제곱해보면 $c=4(c')^2$이거나 $c=4((c')^2+c.. 2021. 7. 22.
FLT(4): 개요 이 포스트는 FLT(4)의 증명을 요약한다. 우리는 다음을 증명하고 싶다. $xyz \neq 0$이면서 \[ x^4 + y^4 = z^4 \] 를 만족하는 정수 $x,y,z$가 존재하지 않는다. 이를 FLT(4)라고 부르자. 만약 FLT(4)가 사실이 아니라 정수해 $(x,y,z)$가 존재한다면 $x^4 = (|x|)^4$이기 떄문에 자연수해 $(|x|, |y|, |z|)$가 존재한다. 즉, 다음 정리를 증명하게 되면 FLT(4)가 사실이 된다. 정리 1: $xyz \neq 0$이면서 \[ x^4 + y^4 = z^4 \] 를 만족하는 자연수 $x,y,z$가 존재하지 않는다. 이를 정리하기 위해서 다음 두 소정리가 필요하다. 소정리 2: 쌍마다 서로소(pairwise coprime)인 자연수 $a,b,c.. 2021. 7. 22.

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