대수적 수론 (Algebraic Number Theory)을 처음 소개 할 때 대표적인 문제는 다음과 같다.
1. 두 제곱수의 곱으로 나타낼 수 있는 홀수인 소수는 어떤 것들일까?
\[ p = x^2 + y^2 \]
2. 원시 피타고라스 수는 무한할까?
원시 피타고라스 수는 $z^2 = x^2+ y^2$를 만족하면서 $x,y,z$가 쌍으로 서로소(pairwise coprime)인 세 쌍 $(x,y,z)$를 의미한다.
이를 풀기에는 어디서 온 지 모르는 트릭(trick)을 이용해야 했었다. 하지만 대수적 수론의 등장 이후 우변을 "인수분해"할 수 있게 된 후에는 대수적으로 직관적인 증명들이 등장하기 시작했다. 우변을 인수분해 하기 위해서는 가우스 수라는 새로운 수체계를 도입해야 한다.
1. 정수적 수 및 정수적 폐포
정수환 $\mathbb{Z}$가 있다고 하자. 정수에서 유리수로 가는 방법은 정수를 이용해 분수를 만드는 것이다. 그래서 우리는 유리수체를 정수환의 분수체(fraction field)라고 부른다. 하지만 유리수체 $\mathbb{Q}$가 주어졌을 때, 우리는 어떤 원소를 "정수"라고 불러야할까? 부자연스러운 정의를 하나 소개해보자.
환의 확장 $A \subset B$가 있다고 하자. 원소 $b \in B$가 다음과 같은 일계수다항식 $f(x) \in A[x]$,
\[ f(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n \]
의 해일 경우 우리는 $b$가 $A$에 대해서 정수적(integral)이라고 한다.
정수가 유리수체 내에서 정수적임을 증명해보자. 모든 정수 $a \in \mathbb{Z}$에 대해서 $a$는 $x-a$의 해가 된다. 신기한 것인 이 부분이 아니다. 만약 정수가 아닌 수가 정수적이라고 가정해보자. 다시 말해 분모가 $1$이 아닌 기약분수 $\frac{b}{c}$가 해인 일계수다항식
\[ x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n \]
이 존재한다고 가정해보자. 그러면
\[ \frac{b^n + a_1b^{n-1}c + \cdots + a_nc^n }{c^n} = 0 \Rightarrow b^n + a_1 b^{n-1} c + \cdots +a_nc^n = 0 \]
기약분수임을 가정했기 때문에 $b$와 $c$는 서로소이다. 다시 말해 $b^n \bmod{c} \neq 0$이 성립된다. 하지만 위의 식에서 $b^n$을 제외한 항은 모두 $c$를 인자로 가지고 있기 때문에 $b^n \equiv 0 ~(\! \bmod{c})$가 되기에 모순이 생긴다. 다시말해 유리수체의 원소 중 정수적인 원소는 정수밖에 없다.
정리를 하자면 유리수라는 "수체계"가 주어졌을 때, 우리는 "새로운 정수"를 정의할 수 있게 된다.
이 다음은 정수적 정수에 대한 유용한 소정리를 소개해보자.
유용한 소정리. 환 $B$의 원소 $b_1, \ldots, b_n$이 $A$에 대해 정수적이다 iff 환 $A[b_1, \ldots, b_n]$이 $A$-모듈로써 유한히 생성된다.
이 소정리가 유용한 이유는 $A$에 대해 정수적인 원소 $b_1, b_2 \in B$가 있으면
\[ A[b_1, b_2] = A[b_1, b_2, b_1+b_2, b_1b_2] \]
이기 때문에 즉시 $b_1+b_2$와 $b_1 b_2$가 $A$에 대해서 정수적인 것을 알 수 있다.
다시 환의 확장 $A \subset B$가 있다고 하자. $B$안에서 $A$의 정수적인 원소들을 전부 모아보자.
\[ \overline{A}:= \{ b \in B ~|~ b \text{가 $A$에 대해서 정수적이다 } \} \]
를 $A$의 $B$안에서의 정수적 폐포(integral closure)이라고 부른다.
유용한 소정리에 의해서 우리는 즉시 $\overline{A}$가 $B$의 부분환(subring)이 된다는 것을 알 수 있다.
만약 정역 (integral domain) $A$의 분수체 $K=\mathrm{Frac}(A)$ 안에서 정수적 폐포가 $A$일 경우, 우리는 $A$가 정수적으로 닫혀(integrally closed)있다고 한다.
2. 수체
유리체 $\mathbb{Q}$의 유한확장체(finite extension)을 우리는 대수적 수체(algebraic number field)라고 부른다. 보통은 그냥 수체라고 부른다.
필자는 수체를 유리수보다 좀더 일반화 되었지만 너무 동 떨어지지 않는 수라고 생각한다. 유리수의 모든 확장체를 보는게 아니라 유한확장체만을 공부하기 때문이다. 원소들이 다항식으로 연결되어 있기 때문에 "대수학"을 할 수 있다고 생각한다.
오늘 우리가 살펴볼 수체는 가우스 수체 (Gaussian Number Field)
\[ \mathbb{Q}(i) := \{ \alpha \in \mathbb{C} ~|~ \alpha = a + bi \text{ 여기서 } a, b \in \mathbb{Q} \} \]
이다.
$\mathbb{Q}$에 대해 $i$로 생성(generated) 되었고 $i$ 가 대수적 원소 (algebraic element)라는 것은 자명한 사실이기 때문에 $\mathbb{Q}(i)$는 수체다. 가우스 수를 "새로운 유리수"라고 생각 했을 때, 그러면 "새로운 정수"는 무엇이 되어야 할까? $a$와 $b$가 모두 정수인 $a+bi$들이 새로운 정수여야 하지 않을까? 이 직관적인 정의가 우리가 위에서 정의한 정수적과 똑같은지 한 번 알아보자.
허수 $i$는 $x^2+1$이라는 일계수 다항식을 만족한다. 즉 $i$는 $\mathbb{Z}$에 대해서 정수적인 수이다. 즉
\[ \mathbb{Z}[i] = \{ a + bi ~|~ a,b \in \mathbb{Z} \} \]
의 원소들은 유용한 소정리에 의해서 전부 정수적 원소가 된다.
만약 $\mathbb{Q}(i)$ 안에 $\mathbb{Z}$의 정수적 폐포를 $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(i)}$라고 쓸 때, 우리는
\[ \mathbb{Z}[i] \subset \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(i)} \]
임을 증명했다.
반대가 성립함을 보여주려면 우리는 환론 (Ring Theory)로 잠시 넘어가야 한다.
3. 유클리드 정역
이를 증명하면 길어지기 때문에 짚고만 넘어가겠다. 유클리드 정역이란 유클리드 함수를 가진 정역을 의미한다. 유클리드 함수는 유클리드 호제법을 가능케 하는 함수인데 이로 인해서 우리는 다음과 같은 관계도를 증명할 수 있다.
유클리드 정역 (Euclidean domain) => 주 아이디얼 정역 (principal ideal domain) => 유일 인수 분해 정역 (unique factorization domain)
복소평면에 $\mathbb{Z}[i]$를 격자로 생각했을 때의 거리를 이용해 $\mathbb{Z}[i]$의 유클리드 함수를 정의 할 수 있다. 이로 인해서 우리는 $\mathbb{Z}[i]$가 주 아이디얼 정역과 유일 인수 분해 정역인 것을 알 수 있다. 이를 통해 기억해야 될 것은
첫째로 유일 인수 분해 정역은 정수적으로 닫혀 있다.
두번째로 주 아이디얼 정역의 소수 원소(prime element)와 소아이디얼 (prime ideal) 같은 것으로 생각 할 수 있다.
4. 가우스 소수와 제곱수의 합
유일 인수 분해 정역에서는 기약원(irreducible element)과 소수 (prime element)가 동일하다. 우리의 목표는 가우스 정수환의 소수를 분류하는 것이다. 그 전에 먼저 가우스 정수환의 가약원 (invertible element)를 먼저 알아보고자 한다. 이를 위해서는 다음과 같은 노름 (Norm) $N: \mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}$를 다음과 같이 정의해보자.
\[ N(a+bi) = (a+bi)(a-bi) = a^2+ b^2 \]
정리. 가우스 정수환의 가약원은 다음과 같다
\[ \{ 1, -1, i, -i \} \]
증명. 일단 모든 가우스 정수 $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[i]$에 대해서 $N(\alpha \beta) = N(\alpha \beta)$임은 쉽게 증명할 수 있다. 다음으로 $\alpha$가 가약원이면 $\alpha \beta = 1$인 $\beta$가 존재한다. 다시 말해
\[ N(\alpha)N(\beta) = 1 \]
임을 알 수 있다. 정의에서 $N(\alpha), N(\beta) \geq 0$임을 쉽게 알 수 있기 때문에 우리는 모든 가약원 $\alpha=a+bi$에 대해서 $N(\alpha) = 1$, 즉 $a^2 + b^2=1$이 성립해야됨을 알 수 있다. 하지만 이는
\[ a= \pm 1 \text{ & } b = 0 \text{ 혹은 } a = 0 \text{ & } b = \pm 1 \]
이를 다시 쓰면 정리가 증명이 된다.
$\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[i]$일 때 어떠한 가약원 $u$에 대해 $\alpha = u \beta$가 성립하면 우리는 $\alpha$와 $\beta$가 연관되어(associated) 있다고 한다.
정리. 가우스 정수환 $\mathbb{Z}[i]$의 소수 $\pi$는 다음 중 하나의 형태와 연과되어 있다:
1. $\pi = 1+i$,
2. $\pi = a+bi$, 여기서 $a,b \in \mathbb{Z}$이고 $p=a^2 + b^2$는 4로 나누었을 때 나머지가 1인 소수이다
3. $\pi = p$ 여기서 $p$는 4로 나누었을 때 나머지가 $1$인 소수이다.
증명. 만약 $\mathbb{Z}$에서 기약원이 아니면 $\mathbb{Z}[i]$에서도 기약원이 아니기 때문에 우리는 $\mathbb{Z}$의 소수가 어떻게 나뉘는지를 보면 된다. 가우스 정수환에서는
\[ 2 = (1+i)(1-i) \]
으로 분해된다. 여기서 우리는 $1+i = (1-i)i$이기 때문에 $1+i$와 $1-i$는 연관되어 있음을 알 수 있다. 실제로 $1+i$가 소수임을 증명하기 위해서는 $1+i$가 기약원임을 증명해야된다. 이는 노름을 이용하면 쉽게 알 수 있다. 증명하지는 않겠지만 $N(\alpha) = 1$이면 $\alpha$는 가약원이다. $1+i$가 기약원이 아니면 가약원이 아닌 두 개의 원소의 곱으로 나타낼 수 있어야 한다. 하지만
$2 = N(1+i) = N(\alpha)N(\beta)$
이기에 $N(\alpha)=1$이거나 $N(\beta)=1$이여야 한다. 즉 $1+i$는 소수여야 한다.
이제는 홀수의 소수만 살펴보면 된다. $p$를 홀수의 소수라고 하자. $p$를 4로 나누었을 때 나머지가 $3$이면 $p$는 $\mathbb{Z}[i]$에서도 소수여야한다. 만약 $\mathbb{Z}[i]$안에서 $p = \alpha \beta$라고 해보자. 여기서 $\alpha$와 $\beta$는 가약원이 아니다. 그러면 $p^2 = N(p) = N(\alpha) N(\beta)$이기에 $N(\alpha) = p$가 된다. 만약 $\alpha = a+bi$였다면 $p = a^2 + b^2$이 된다. 하지만 4에 대한 법으로 $a^2$은 $0$ 아니면 $1$이다, 즉
\[ a^2 + b^2 \equiv 0 ~(\bmod{4}) \text{ 혹은 } a^2 + b^2 \equiv 1 \]
이 성립한다. 즉 모순이 생긴다.
여기서 $p$는 홀수라고 가정했기 때문에 홀수의 $p$가 기약원이면 $p \equiv 1~(\bmod{4})$임도 동시에 증명한 것이다. 이제 반대를 증명해보자. 우리는 $ p \equiv 1~(\bmod{4})$이면 어떠한 정수 $a,b$에 대해서 $p = a^2 + b^2$임을 증명하고 싶다.
$\pi$를 임의의 $\mathbb{Z}[i]$의 소수라고 해보자. 그러면
\[ \pi| \pi \overline{\pi} = N(\pi) = p_1 \cdot p_r \]
여기서 $p_1, \ldots, p_r$은 가우스 소수가 아닌 정수인 소수이다. 그러면 유클리드의 소정리와 같은 증명으로 $\pi | p_i$가 된다. 편의를 위해 $p = p_i$라고 하자. $\pi$는 소수이기 때문에 $N(\pi)|N(p)=p^2$에서 우리는 $N(\pi) = p$ 혹은 $N(\pi) = p^2$임을 알 수 있다. $N(\pi) = p$라고 해보자. 그러면 $a^2+ b^2 = p$이기 때문에 $p=2$이거나 $p=a^2 + b^2$은 $4$로 나누었을 때 나머지가 $1$이여야 한다. 만약 $N(\pi) = p^2$이라면 $N(p/\pi)=1$이기 때문에 $\pi$와 $p$는 연관되어 있다. $p$가 $2$이거나 $p \equiv 1 ~(\bmod{4})$인 소수인 경우 소수가 아닌 것을 위에서 받기 때문에 $p \equiv 3 ~(\bmod{4})$가 성립해야됨을 알 수 있다.
눈치 챈 사람들은 우리가 지금
정리. $p$가 홀수인 소수라고 하자 그러면
\[ p = a^2 + b^2 \text{인 정수 } a,b \text{ 가 존재한다 } \Leftrightarrow p \equiv 1 ~(\bmod{4}) \]
를 증명했음을 알 수 있을 거다.
4. 원시 피타고라스 수
원시 피타고라스 수의 존재 및 분류 또한 가우스 정수에서 공부하면 자연스러워 진다. 증명을 대충 요약하자면,
1) $z^2 = x^2 + y^2 = (x+iy)(x-iy)$로 인수분해를 한다.
2) $x+iy$와 $x-iy$가 $\mathbb{Z}[i]$내에서 서로소임을 증명한다.
3) 좌변이 제곱수이고 $\mathbb{Z}[i]$가 유일 인수 분해 정역이기 때문에 $(x+iy) = (m+iy)^2$이다.
4) 전개를 하면
\[ x + iy = (m^2-n^2) + i(2mn) \]
이 성립한다.
원시 피타고라스의 수는 다음과 같이 분류할 수 있다.
정리. 서로소인 정수 $m,n \in \mathbb{Z}$에 대해서
\[ x = m^2 - n^2, y = 2mn, z = m^2 + n^2 \]
은 원시 피타고라스 수이다. 다시 말해, $x,y,z$는 쌍으로 서로소이고 $x^2 + y^2 = z^2$이다. 반대로, $x,y,z$가 원시 피타고라스 수이면 위의 식을 만족하는 서로소 $m,n$이 존재한다.
이번 포스팅에는 많은 부분이 빠져있다. 다음에는 좀 더 자세히 서술하도록 하겠다.
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