소수 (Prime Number)

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어떤 과목을 공부하게 되면 자연스럽게 가장 기본 요소를 먼저 이해하려고 시도를 합니다. 기본적인게 쉬우니까요. 그렇다면 정수론에서의 기본 구성 요소는 과연 무엇일까요? 더하기를 기준으로 한다면 \( \pm 1 \) 이 수의 세포의 역할을 합니다 . 왜냐하면 모든 수 \( n \)은 

\[ n = 1 + \cdots + 1 \text{ 혹은 } n = (-1) + \cdots + (-1) \]

대수적인 측면에서는 \( -1 \) 또한 \( 1 \) 로 "생성"된다고 생각하기에 더하기의 가장 기본 요소는 \( 1 \)이라고 할 수 있습니다. 하지만 \( 1 \) 만 가지고는 흥미로운 이론을 끌어낼 수가 없기에 수학자들은 곱하기에 눈을 돌리게 됩니다.

 

가분성(Divisibility)에서 우리는 수가 나뉜다는 의미를 엄밀하게 다루어 봤습니다. 나눈다는 과정을 쪼갠다는 개념으로 봤을 때, 우리는 벽에 부딪히게 됩니다. 예를 들어 \( 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \) 은

\[ 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3  = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2 \cdot 2 \cdot 3\]

와 같이 \( 1 \) 을 추가하는 것 이외에는 더욱 작은 숫자의 곱으로 나타낼 수가 없습니다. 더욱이나 \( 1 \)은 무한 번 나누기 때문에 \( 1 \)은 기본 요소로 생각하지 않습니다. 

 

그렇다면 \( 12 \) 의 약수 중 \( 1 \) 이 아닌 더 이상 작은 수로 쪼개지지 않는 약수 (여기서는 \( 2 \) 와 \( 3 \)) 을 구분하는 정의는 무엇일까요? 어떤 것을 만족해야지 더 이상 쪼개지지 않을까요? 

 

정의 1

1. 약수를 2 개 가진 자연수 \( n \)을 소수 (Prime Number) 라고 부른다. \( n >1 \) 이며 소수가 아닌 수를 우리는 합성수 (Composite Number) 라고 부른다.
2. 수 \( n \)을 소수의 곱으로 나타낸 것을 소인수분해 (Prime Factorization) 이라고 부른다.

 

참조 2 (쪼개지지 않는 수가 소수이다)

여태까지 했던 이야기와 이 정의가 어떤 관계가 있을까요? 모든 자연수 \( n \) 은 \( 1 \) 과 자기 자신 \( n \)을 약수로 가지고 있습니다. \( 1 \cdot n = n \) 이기 때문이죠. 즉, 소수는 \( 1 \)과 자기 자신만을 약수로 가지고 있는 자연수 입니다. 그렇다면 만약 소수가 아니라면 \( 1 < m _1 < n \) 을 만족하는 약수 \( m_1 \) 이 존재해야 합니다. 만약 \( m_2 = n/m_1 \)으로 두게 되면 \( 1 < m_2 < n \) 이 성립하면서 \( n = m_1 m_2 \) 가 성립하게 됩니다. 즉, 자연수가 (1이 아닌) 더 작은 수로 쪼개지게 됩니다. 반대로, 쪼개진다는 소리는 \( n \) 을 나누는 \( 1 < m < n \) 이 존재한다는 소리인데, 그러면 적어도 \( n \) 의 약수가 \( 3 \) 개 이상이 되어 버려서 \( n \) 은 소수가 아니게 되어버립니다.

 

그렇다면 모든 정수는 소수로 이루어져있을까요? 이걸 수학적으로 다시 풀어쓰면 모든 수는 소수의 곱으로 나타낼 수 있을까요? 다음 포스트에서부터 우리는 모든 자연수는 소수의 곱으로 이루어져 있을 뿐 아니라 순서를 무시하면 단 한 가지의 방법으로만 이루어진다는 것을 증명하기 시작할 것입니다. 이를 우리는 기본 산술 법칙 (Fundamental Theorem of Arithmetic) 이라고 부릅니다. 이를 이용해서 정수로 개념을 확장해 나갈 겁니다.

 

로그 (Logarithm)에 대해서 아시는 분은 더 보기를 눌러주세요.

정의 3 함수 \( \pi \)를 \( \pi(x) = x \) 보다 작거나 같은 소수의 개수로 정의하자.

 

소수에는 알려진 규칙성이 없기 때문에 \( \pi(x) \)를 알아내는 것은 불가능한것으로 알려져 있습니다.  하지만 소수 정리 (Prime Number Theorem)은 \( \pi(x) \)가 \( \frac{x}{\log{x}} \)에 근사한다고 알려줍니다. 이는 다시 말해

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\log{x}} = 1 \]

 

소수 정리는 기초 정수론을 이용해서 증명을 할 수 있지만 그 증명이 어렵기 때문에 복소 해석학을 사용하여 증명을 합니다.