FLT(4): 개요
이 포스트는 FLT(4)의 증명을 요약한다. 우리는 다음을 증명하고 싶다.
$xyz \neq 0$이면서
\[ x^4 + y^4 = z^4 \]
를 만족하는 정수 $x,y,z$가 존재하지 않는다.
이를 FLT(4)라고 부르자.
만약 FLT(4)가 사실이 아니라 정수해 $(x,y,z)$가 존재한다면 $x^4 = (|x|)^4$이기 떄문에 자연수해 $(|x|, |y|, |z|)$가 존재한다. 즉, 다음 정리를 증명하게 되면 FLT(4)가 사실이 된다.
정리 1: $xyz \neq 0$이면서
\[ x^4 + y^4 = z^4 \]
를 만족하는 자연수 $x,y,z$가 존재하지 않는다.
이를 정리하기 위해서 다음 두 소정리가 필요하다.
소정리 2: 쌍마다 서로소(pairwise coprime)인 자연수 $a,b,c$가 $a^2 + b^2 = c^2$을 만족한다고 가정해보자. $a,b$의 홀짝은 다르고 $a$는 홀수 그리고 $b$는 짝수라고 하자. (만약 $a$가 짝수라면 $a$와 $b$의 이름을 바꾸자.) 그러면
\[ \begin{array}{l} a = m^2-n^2 \\ b=2mn \\ c=m^2+n^2 \end{array} \]
면서 서로소인 자연수 $m,n$이 존재한다.
소정리 3: $xyz \neq 0$ 이면서 $x^4 + y^4 = z^4$를 만족하는 자연수 $x,y,z$가 존재한다고 가정하자. 그러면 $z_1 < z$ 이면서
\[ (x_1)^4 + (y_1)^4 = (z_1)^4 \]
인 $x_1y_1z_1 \neq 0$인 자연수 $x_1, y_1, z_1$가 존재한다.
증명 (업데이트 예정)
FLT(4) 증명
FLT(4)가 거짓이라고 가정하자. 그러면 우리는 소정리 3을 계속 적용해
\[ z > z_1 > z_2 > z_3 > \cdots \]
인 무한한 수열을 만들 수 있다. 하지만 $z, z_i$가 전부 자연수라고 가정했기 때문에 우리는 무한히 작은 자연수를 찾을 수 없다. 다시 말해 FLT(4)가 사실임이 증명된다.