페르마의 마지막 정리: 개요
수학하면 가장 떠오르는 정리 중 하나인 피타고라스의 정리는 $x,y,z$가 직각삼각형의 길이를 나타내고 $z$가 빗변일 때,
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]
임을 보여준다.
\[ 3^2 + 4^2 = 5^2 \]
이므로 $x^2 + y^2 = z^2$은 정수해가 존재하는 식이다. 페르마의 마지막 정리는 이를 일반화한 문제라고 생각하면 된다.
FLT(n)가 다음의 명제라고 할 때
$xyz \neq 0$이고
\[ x^n+y^n = z^n \]
을 만족하는 정수 $x,y,z$가 존재하지 않는다.
페르마의 마지막 정리는
정리 (페르마의 마지막 정리): 모든 $n \geq 3$인 정수에 대해서 FLT(n)이 참이다.
정리 1: 모든 2보다 큰 소수 $p$에 대해서 FLT(p)를 증명하면 모든 $n \geq 3$에 대해서 FLT(n)이 성립한다.
정리 1의 증명의 요약은 다음과 같다.
소정리 2: FLT(4)를 증명한다.
소정리 3: $d|n$이면 FLT(d)는 FLT(n)을 증명한다.
소정리 4: $n \geq 3$이면 $n$은 $4$혹은 홀수인 소수 $p$로 나뉜다.
소정리 2-4를 조합하면 어렵지 않게 정리 1이 사실임을 알 수 있다. 각자 살펴보자.
소정리 2) FLT(4)는 페르마 본인이 무한 강하법을 이용해 증명을 했다. 이는 다른 포스팅에서 다루도록 하자.
소정리 3) FLT(n)이 사실이 아니라고 가정해보자. 이는 $xyz \neq 0$이면서
\[ x^n + y^n = z^n \]
을 성립하는 정수 $x,y,z$가 존재한다. $d|n$이기 때문에 어떤 정수 $k$에 대해서 $n=dk$이다. 그러면
\[ (x^k)^d = (y^k)^d = (z^k)^d \]
가 성립하게 되므로 FLT(d)는 사실이 아니다. 대우(Contrapositive)에 의해서 FLT(d)가 사실이면 FLT(n)이 사실이 된다.
소정리 4) 만약 $n \geq 3$이 홀수인 소수 $p$로 나뉘지 않는다고 가정하자. 모든 1보다 큰 정수는 소수로 나뉘기 때문에 홀수인 소수로 나뉘지 않는다면 $2$로만 나뉘게 된다. 즉 어떤 자연수 $k$에 대해서 $n=2^k$이 된다. $n \geq 3$이기 때문에 $k \geq 2$여야 한다. 이를 다시 말하면 $4|n$이다.
목차
FLT(3)
FLT(n), $n \geq 5$